www.petrg.wz.cz/czu
www.mamatika.cz



Studijní materiály – matematické úlohy



Na těchto stránkách naleznete materiály k přípravě na zkoušku z matematiky (matematická analýza, lineární algebra). Jsou tu k dispozici i další učební materiály a program na kreslení funkcí, který je umístěn v záložce "Graph".


V této záložce je zpřístupněno mnoho příkladů, vzorových výpočtů, návodů na řešení a spousta neřešených příkladů s výsledky ze skript.

U vybraných kapitol jsou k prostudování také učební materiály – řešení konkrétních příkladů – uložené vždy v podkapitolce Návody, jejichž autory jsou doc. Mgr. Robert Mařík, Ph.D. a RNDr. Lenka Přibylová, Ph.D.

           


Obsah záložky
Kliknutím na odkaz se dostanete přímo k vybrané kapitole.
1) Definiční obor 1 prom.     6) Inverzní funkce                           12) Globální extrémy 1 prom.             18) Neurčitý integrál
2) Definiční obor 2 prom. 7) Tečna a normála – bod T 13) Průběh funkcí 19) Určitý integrál
3) Limity 8) Tečna a normála – přímka p 14) Lokální extrémy 2 prom. 20) Aplikace určitého integrálu
4) Derivace 9) Tečná rovina a normála 15) Vázané extrémy 21) Diferenciální rovnice I. řádu
5) Parciální derivace 10) Monotonie 16) Asymptoty 22) Diferenciální rovnice II. řádu
11) Konvexita a konkávita 17) Taylorův polynom

1. Definiční obory jedné proměnné


1.1 Postupy řešení
Jak na definiční obory | Ukázkový příklad

1.2 Činitelé, které kladou podmínky
1. jmenovatel           2. sudá odmocnina           3. logaritmus (přirozený, dekadický...)          4. arcsin          5. arccos

1.3 Příklady ze skript
Skripta – definiční obory jedné proměnné

1.4 Vzorové příklady ke zkoušce
Souhrn zadání – definiční obory jedné proměnné

1.5 Řešené příklady s postupem:
Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 | Příklad 15 | Příklad 16 | Příklad 17 | Příklad 18 | Příklad 19 | Příklad 20 | Příklad 21 | Příklad 22 | Příklad 23 | Příklad 24 | Příklad 25 | Příklad 26 | Příklad 27 | Příklad 28 | Příklad 29 | Příklad 30 | Příklad 31 | Příklad 32 | Příklad 33 | Příklad 34 | Příklad 35 | Příklad 36 | Příklad 37 | Příklad 38 | Příklad 39 | Příklad 40 | Příklad 41 | Příklad 42 |

1.6 Vše ke stažení (zip)
Staženo

2. Definiční obory dvou proměnných


2.1 Vzorové příklady ke zkoušce
Souhrn zadání – definiční obory dvou proměnných

2.2 Řešené příklady s postupem:
Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 | Příklad 15 | Příklad 16 | Příklad 17 | Příklad 18 |

2.3 Vše ke stažení (zip)
Staženo

3. Limity


3.1 Vlastnosti a vzorce
Vlastnosti limit*

3.2 Návody
  • Postup – Výpočet limity dosazením
  • Postup – Limity
  • Postup – Užití l´Hospitalova pravidla
  • Postup – Výpočet limit typu || 00|| a || ||
  • Postup – Výpočet limit typu || k0 ||

  • 3.3 Příklady ze skript
    Skripta – limity | Skripta – limity (l'Hospitalovo pravidlo)

    3.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – limity

    3.5 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    4. Derivace


    4.1 Definice a vzorce
    Definice derivace | Vzorce pro derivování*

    4.2 Návody:
  • Postup – Derivování 1/2
  • Postup – Derivování 2/2
  • Postup – Derivování složených funkcí
  • Postup – Derivování vyšších řádů

  • 4.3 Rada k výpočtu
    Úprava funkcí před derivováním

    4.4 Příklady ze skript
    Skripta – derivace

    4.5 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – derivace

    4.6 Řešené příklady s postupem:
    Příklad obtížný (není ze zkouškové databáze) | Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 |

    4.7 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    5. Parciální derivace


    5.1 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – parciální derivace

    5.2 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 1 | Příklad 2 |

    5.3 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    6. Inverzní funkce


    6.1 Návody
  • Postup – Inverzní funkce

  • 6.2 Postupy řešení
    Jak na inverzní funkce

    6.3 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – inverzní funkce

    6.4 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    7. Tečna a normála – bod T


    7.1 Vzorce
    Vzorec tečny a normály*

    7.2 Postupy řešení
    Jak na tečny a normály zadané s bodem T | Ukázkový příklad

    7.3 Příklady ze skript
    Skripta – tečna a normála v bodě T

    7.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – tečna a normála v bodě T

    7.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 |

    7.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    8. Tečna a normála zadané s přímkou p


    8.1 Postupy řešení
    Jak na tečny a normály zadané s přímkou p | Ukázkový příklad

    8.2 Příklady ze skript
    Skripta – tečna a normála zadané s přímkou p

    8.3 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – tečna a normála zadané s přímkou p

    9. Tečná rovina a normála


    9.1 Vzorce
    Vzorec tečné roviny a normály*

    9.2 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – tečná rovina a normála

    9.3 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 |

    10. Monotonie


    10.2 Návody
  • První derivace a lokální extrémy – Monotonie

  • 10.2 Postupy řešení
    Jak na monotonie | Ukázkový příklad | Funkce a její první derivace*

    10.3 Příklady ze skript
    Skripta – monotonie

    10.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – monotonie

    10.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 | Příklad 15 | Příklad 16 | Příklad 17 |

    10.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    11. Konvexita a konkávita


    11.1 Návody
  • Intervaly konvexnosti, konkávnosti, inflexní body (inflexe – ohyb)

  • 11.2 Postupy řešení
    Jak na konvexitu a konkávitu | Zřejmý příklad | Funkce a její první a druhá derivace*

    11.3 Příklady ze skript
    Skripta – konvexita a konkávita

    11.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – konvexita a konkávita

    11.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 |

    11.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    12. Globální a lokální extrémy jedné proměnné


    12.1 Postupy řešení:
    Jak na globální extrémy | Ukázkový příklad | Možné intervaly

    12.2 Příklady zadání intervalů:
    V uvedeném příkladu je funkce y =2–x2

    12.2.1 Interval 〈– 1; 3〉

    Zadaný inteval obsahuje:
  • ostrý lokální a zároveň globální extrém – maximum v bodě se souřadnicemi [0; 2]
  • ostrý globální extrém – minimum v bodě se souřadnicemi [3; –7]

  • 12.2.2 Interval 〈– 2; 2〉

    Zadaný inteval obsahuje:
  • ostrý lokální a zároveň globální extrém – maximum v bodě se souřadnicemi [0; 2]
  • neostrý globální extrém – minimum v bodě [–2; –2]
  • neostrý globální extrém – minimum v bodě [2; –2]

  • 12.2.3 Interval 〈– 3; –1〉

    Zadaný inteval obsahuje:
  • ostrý globální extrém – minimum v bodě [–1; 1]
  • ostrý globální extrém – maximum v bodě [–3; –7]
  • Interval neobsahuje žádný lokální extrém (v našem případě maximum).

    12.2.4 Interval 〈0; 1〉

    Zadaný interval začíná (může i končit) v místě lokálního extrému. To je poněkud specifický případ. My zde máme funkci y = 2–x2, která je na itervalu 〈0; ∞〉 stále klesající. Pakliže je něco stále klesající, nemůže to mít na určeném (byť uměle vybraném) intervalu lokální extrém. Proto má v tomto případě funkce extrémy pouze globální.

    V našem případě tedy zadaný interval obsahuje:
  • ostrý globální (pouze!) extrém – maximum bod [0; 2]
  • ostrý globální extrém – minimum bod [1; 1]

  • 12.3 Příklady ze skript
    Skripta – globální extrémy

    12.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – globální extrémy

    12.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 |

    12.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    13. Testování průběhu funkcí


    13.1 Návody
  • Průběh funkcí
  • (4 příklady, ke každému vypočten mj.: definiční obor, limita ± ∞ monotonie + lokální extrémy, konvexita + inflexní body, všechny funkce jsou nakresleny.)

    13.2 Příklady
    Příklady – průběh funkcí
    (Ke každé funkci je uvedena tabulka vybraných funkčních hodnot, je nalezen průsečík těchto 2 funkcí, je spočtena první a druhá derivace.)

    14. Lokální extrémy dvou proměnných


    14.1 Postupy řešení
    Jak na lokální extrémy dvou proměnných

    14.2 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – lokální extrémy

    14.3 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 1 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 |

    14.4 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    15. Vázané extrémy


    15.1 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – vázané extrémy

    15.2 Příklady
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 |

    15.3 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    16. Asymptoty


    16.1 Vzorce
    Vzorce k výpočtu asymptot*

    16.2 Návody
  • Postup – asymptota

  • 16.3 Příklady ze skript
    Skripta – asymptoty

    16.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – asymptoty

    16.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 |

    16.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    17. Taylorův polynom


    17.1 Vzorce
    Vzorec Taylorova polynomu n-tého řádu*

    17.2 Návody
  • Postup – Taylorův polynom
  • Grafické znázornění Taylorova polynomu jedné goniometrické funkce různých řádů

  • 17.3 Postupy řešení
    Jak na Taylorův polynom

    17.4 Příklady ze skript
    Skripta – Taylorův polynom

    17.5 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – Taylorův polynom

    17.6 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 |

    17.7 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    18. Neurčitý integrál


    18.1 Vzorce

    Vzorce pro integrování*

    18.2 Návody
  • Postup – Neurčitý integrál 1/2
  • Postup – Neurčitý integrál 2/2
  • Postup – Přímá metoda
  • Postup – Metoda per partes
  • Postup – Substituce
  • Postup – Integrace goniometrických funkcí

  • 18.3 Jednoduché příklady:
    Přímá metoda (63 příkladů) | Metoda per partes (14 příkladů) | Metoda substituce (39 příkladů) | Skripta - řešené

    18.4 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – neurčitý integrál

    18.5 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 | Příklad 15 | Příklad 16 | Příklad 17 | Příklad 18 | Příklad 19 | Příklad 20 | Příklad 21 | Příklad 22 | Příklad 23 | Příklad 24 |

    18.6 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    19. Určitý integrál


    19.1 Postupy řešení
    Jak na určitý integrál

    19.2 Příklady ze skript
    Skripta – určitý integrál

    19.3 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – určitý integrál

    20. Aplikace určitého integrálu


    20.1 Vzorce
    Vzorce aplikace určitého integrálu*

    20.2 Návody
  • Jak integrál počítá vymezenou plochu obrazce
  • Výpočet určitého integrálu

  • 20.3 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – aplikace určitého integrálu

    20.4 Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami (P):
    20.4.1 Návody
    Návod a ukázkové příklady

    20.4.2 Řešené příklady s postupem:
  • Obsah rovinného útvaru pod křivkou
  • Obsah rovinného útvaru mezi dvěma křivkami

  • 20.4.3 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 |

    20.5 Délka křivky (l):
    20.5.1 Návody
  • Délka rovinné křivky

  • 20.5.2 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 |

    20.6 Povrch rotačního tělesa (S):
    20.6.1 Návody
  • Povrch pláště rotačního tělesa

  • 20.6.2 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 |

    20.7 Objem rotačního tělesa (V):
    20.7.1 Návody
  • Objem rotačního tělesa (křivka a osa x)
  • Objem dutého rotačního tělesa (2 křivky)

  • 20.7.2 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 |

    20.8 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    21. Diferenciální rovnice I. řádu


    21.1 Příklady ze skript
    Skripta – diferenciální rovnice I. řádu

    21.2 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – diferenciální rovnice I. řádu

    21.3 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 | Příklad 11 | Příklad 12 | Příklad 13 | Příklad 14 |

    21.4 Vše ke stažení (zip)
    Staženo

    22. Diferenciální rovnice II. řádu


    22.1 Příklady ze skript
    Skripta – diferenciální rovnice II. řádu

    22.2 Vzorové příklady ke zkoušce
    Souhrn zadání – diferenciální rovnice II. řádu

    22.3 Řešené příklady s postupem:
    Příklad 01 | Příklad 02 | Příklad 03 | Příklad 04 | Příklad 05 | Příklad 06 | Příklad 07 | Příklad 08 | Příklad 09 | Příklad 10 |

    22.4 Vše ke stažení (zip)
    Staženo
    (*) označené hvězdičkou jsou uvedeny i v záložce "Graph, vzorečky,..." spolu s dalšími vzorci.
    nahoru

    V případě, že v souborech naleznete nějakou chybu, nebo budete mít nějaké jiné připomínky, obraťte se na autorku Kate Morris, info@matematika-lucerna.cz. Většina souborů je zpracována programem LaTeX.       
    Počítadlo:           Stránky aktualizovány: